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연구과제명
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저차원 다양체의 사상류와 매듭의
고전적인 불변량에 관한 연구(Studty on the mapping classes
of low dimensional manifolds and the classical
invariants of knots)
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연구목표 |
본 연구과제는 구멍 뚫린 2차원 원판의 사상류군인 땋임군에서의 공액문제, 타원기하를 가지는 3차원
다양체에서의 사상에 관한 스메일(Smale) 예상을 규명하는 문제, 매듭의 고전적인 불변량 중 하나인 초교각지수(super bridge
index)의 성질에 관한 문제, 매듭의 동계성불변량(concordance invariant)의 성질에 관한 문제와 같은 아직까지 미해결로
남아있는 중요한 문제들을 해결하는데 그 목표를 두고 있다.
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연구내용 |
땋임군에서의 공액문제는 많은 연구가 이루어져 왔고 이를 해결하는 유한단계의 알고리듬도 발견되었다. 과연
이 공액문제가 다항함수 시간의 복잡도를 가지는 알고리듬으로 해결될 수 있는지는 수학 뿐아니라 물리힉, 암호학에서도 큰 의미를 가지는 질문이나
아직까지 해결되지 않았다. 우리는 땋임군의 공액문제를 단어길이에 대하여 다항함수 시간 내에 해결할 수 있는 알고리즘을 찾으려 시도하고 땋임지수에
대하여는 이것이 불가능하다는 것이 보이려고 한다. 일정 곡률을 가지는 3차원 다양체의 미분동형 사상군은 등장사상군으로
변형축약(deformation retract)된다는 스메일 예상은 타원기하를 가지는 3차원 다양체에 대해서는 몇몇 특별한 종류의 다양체에
대해서만 증명되어 있다. 우리는 스메일 예상이 임의의 일반적인 타원기하 3차원 다양체에 대해 성립함을 보일 것이다. 매듭의 초교각지수는
최소교각지수(bridge index)와 땋임지수(braid index) 등과 마찬가지로 자연스럽게 정의되지만 계산하기가 어려운 불변량이다.
우리는 홀수 초교각지수를 가지는 매듭의 가지 수가 무한히 많은가 하는 문제, 매듭의 연결합에 대하여 초교각지수가 어떻게 바뀌는가에 대한 문제,
최소교각지수와 초교각지수의 차이가 1인 매듭의 특성을 밝히는 문제 등을 해결하려 시도할 것이다. 최근에 얻어진 경계고리 동계군 완전한 대수적
분류를 매듭이론 입장에서 규명하여 대수적 성질과 기하적 성질의 관계를 알아내어 고리의 동계성 연구에 활용한다.
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기대효과 |
본 연구과제가 성공적으로 수행된다면 많은 연구자들의 관심을 끌고 있는 몇 가지 문제들을 해결하여 저차원
위상수학 연구 발전에 일익을 담당하게 되고, 물리학, 암호학 등의 관련분야 연구에 커다란 반향을 불러 이르킬 수 있으리라 생각되며, 연구 수행
중 개발된 수학적 도구들은 여타 연구자들의 향후 연구에도 활용될 것으로 보인다.
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